Normaalkracht Vervorming

In Onderstaande berekening wordt de Differentiaalvergelijking voor normaalkracht vervorming uitgewerkt. Dit is een van de eenvoudigste vervormings mechanisme. Toch kan er met behulp van deze differentiaal vergelijking veel constructieve probleme mee worden beschreven. Onderstaande afleiding geld alleen voor elastische materialen. Er wordt ook aangenomen dat de normaalkracht aangrijpt in het zwaartepunt van de doorsnede.

Aanname assenstelsel en positieve richting

Figuur 1 Homogene staaf belast met een verdeelde q last	Figuur 2 Vrij lichaamsdiagram met de positieve krachten weergegeven

Kinematische vergelijkingen

Kinematische betrekkingen beschrijven het verband tussen vervormingsgrootheden en verplaatsingsgrootheden

De staaf weergegeven in figuur 1 verlengt wordt verlengt. Op locatie x is de verlenging gelijk aan u(x), op locatie x+dx is de verlenging gelijk aan u(x+dx)=u+du met dx is oneindig klein.

$\varepsilon =\frac{u(x+dx)-u(x)}{dx}=\frac{u(x)+du-u(x)}{dx}=\frac{du}{dx}$

(1)

Constitutieve vergelijkingen

Constitutieve betrekkingen beschrijven de relatie tussen de kracht en vervorming.

De wet van Hooke beschrijft de relatie tussen de spanning en de rek in een vezel. $\sigma =E\cdot \varepsilon$

(2)

Figuur 3 spanning in doorsnede staaf	Figuur 4 x, y, z Assenstelsel	Figuur 5 Doorsnede staaf

De normaalkracht is gelijk aan de spanning vermenigvuldigd met het oppervlak: $N=\int\limits_{A}^{{}}{\sigma dA}$
Formule 1 en 2 invullen: $N=\int\limits_{A}^{{}}{E\frac{du}{dx}dA}$ met $dA=dzdy $ (zie fig. 4 en fig. 5)

$\frac{du}{dx}$niet afhankelijk van z of y dus $N=\frac{du}{dx}\int\limits_{A}^{{}}{EdA}$ Als E constant $N=EA\frac{du}{dx}$

(3)

Evenwichtsvergelijkingen

In een statische constructie is er een evenwicht in allen krachten.

Figuur 6 Vrij lichaamsdiagram met q last

In deze constructie bevinden zicht alleen krachten in de x richting in één lijn. De som van deze krachten moet gelijk zijn aan 0.

$\sum{{{F}_{x}}}=0\to -N+qdx+N+dN=0$

Uit deze formule valt N weg $qdx+dN=0\to -\frac{dN}{dx}=q$

(4)

formule 3 samenvoegen met 4: $-\frac{d}{dx}(EA\frac{du}{dx})=q$ en als E is constant $-EA\frac{{{d}^{2}}u}{d{{x}^{2}}}=q$