Platen

Met een plaat wordt hier bedoelt een constructie element waarin de krachten in twee richtingen worden overgebracht, zoals:

• Vloeren
• Wanden
• Gedrongen ligger

In dit hoofdstuk scheiden we twee verschillende categorieën, platen belast in het vlak en platen belast op buiging. Voor beide categorieën zullen de differentiaal vergelijkingen worden afgeleid. Als eerste zal de plaat belast in het vlak worden uitgewerkt, daarna de plaat op buiging

Een plaat in zijn vlak belast

Een plaat die in zijn vak wordt belast heeft een verplaatsing in de x-richting (u_x (x,y)) en een verplaatsing in de y richting (u_y (x,y)) (zie Fig. 1). Er wordt aangenomen dat er in de z richting geen verplaatsing plaats vindt.

Fig. 1: Grootheden die rol spelen bij een 'in het vlak belaste' plaat, de grootheden zijn positief weergegeven.

In Fig. 2 zijn de krachten die op een 'in het vlak belaste' plaat kunnen werken weergegeven. Uit vermenigvuldiging van de spanningen in de plaat en de dikte t van de plaat volgt de membraankrachten. Deze krachten zijn ook in Fig. 2 weergegeven. Membraamkrachten worden uitgedrukt in kracht per afstand.

$n=\sigma t$

Fig. 2: Positieve krachten

Het afleiden van een 'in het vlak belaste' plaat is een uitbreiding op de afleiding van staaf belast op normaalkracht. (Zie hier). Net als bij die afleiding zal er ook hier weer gebruik worden gemaakt van de kinematische, constitutieve en evenwichts- vergelijkingen. Omdat er meer richtingen zijn waarin de plaat kan vervormen en kan worden belast zijn er ook meer vergelijkingen. zie Fig. 3

Fig. 3a: verbanden tussen grootheden voor een staaf.

Fig. 3b: verbanden tussen grootheden voor een plaat.

Kinematische vergelijkingen

Kinematische betrekkingen beschrijven het verband tussen vervormingsgrootheden en verplaatsingsgrootheden. Een plaat 'in het vlak belast kan op 3 manieren verplaatsen; over de x as, over de y as en roteren. Ook kan dit soort plaat vervormen op drie manieren ten gevolge van belasting in de xx, yy en xy richting zie Fig. 4

Fig. 4: boven: de drie starre lichamen verplaatsingen, onder: de drie vervormingen. Allemaal in positieve richting

De relaties tussen de vervormingen en verplaatsingen worden weergegeven in Fig. 5. In deze zijn alle verplaatsingen en vervormingen gecombineerd.

	$\alpha =\frac{\delta {{u}_{x}}}{\delta y}$ $\beta =\frac{\delta {{u}_{y}}}{\delta x}$ ${{\gamma }_{xy}}=\alpha +\beta $ ${{\omega }_{xy}}=\frac{1}{2}\left( \beta -\alpha \right)$
Fig. 5: verplaatsingen en vervormingen gecombineerd (Klik op afbeelding voor geanimeerde afbeelding)

Met behulp van deze afbeeldingen kunnen de kinematische vergelijkingen worden afgeleid.

${{\varepsilon }_{xx}}=\frac{\delta {{u}_{x}}}{\delta x}$

${{\varepsilon }_{yy}}=\frac{\delta {{u}_{y}}}{\delta y}$

${{\varepsilon }_{xy}}=\frac{\delta {{u}_{x}}}{\delta y}+\frac{\delta {{u}_{y}}}{\delta x}$